Родился в Москве. С детства увлекался музыкой, самостоятельно освоил игру на нескольких музыкальных инструментах. С 14 лет начал выступать в музыкальном коллективе.

После окончания средней школы, в 1987 году, поступил сразу в два высших учебных заведения: Школу-студию МХАТ им. А.П. Чехова и Театральный институт им. Б. Щукина. Выбрал МХАТ. Обучался на курсе под руководством Василия Петровича Маркова, окончил школу-студию в 1991 году. Уже будучи студентом, играл в спектаклях-постановках МХАТ им. А.П. Чехова. Его партнерами по сцене были такие известные актеры театра и кино, как Юрий Богатырев, Петр Щербаков, Станислав Любшин, Ирина Мирошниченко, Евгений Киндинов, Александр Калягин, Иннокентий Смоктуновский. Самая известная театральная работа Дениса Бургазлиева - роль «Брюнета» в нашумевшем спектакле театра им. Станиславского - «Лысый брюнет» (роль «Лысого» исполнил популярный актер, лидер группы «Звуки Му» Петр Мамонов).

С 1985 снимается в кино.

Одновременно с работой в кино и театре занимался музыкой. В 90-е годы был руководителем и солистом вокально-инструментального ансамбля «Сердца», который распался после его переезда в 1997 году в Германию, там у Дениса Бургазлиева родилась дочь Александра. Проживая в Германии, продолжает сниматься в фильмах, телевизионных сериалах, сочинять песни (организовал свою студию) и музыку к спектаклям, работать в театре. С 2000 года по настоящее время является актером ганноверского драматического театра «Sausspielhaus Hannover».

В 2005 году вернулся в Россию, продолжает активно сниматься как в российском, так и немецком кино, писать музыку и песни. Одна из его композиций под названием «Супруги» прозвучала в фильме «Любовь-Морковь» (2007). В настоящее время Денис Бургазлиев занят в новом музыкальном проекте «Инкассатор».

В 2009 году вышли в прокат новые фильмы с участием Дениса Бургазлиева под названием «Розы для Эльзы» Егора Михалкова-Кончаловского, в котором Денис исполнил главную роль, и «Ясновидящая» Ильи Хотиненко. Осенью 2009 года на телеканале НТВ прошёл премьерный показ третьего сезона популярного детективного сериала «Час Волкова». В ближайшем будущем планируется выход на российские экраны фильма «Трасса М8» и «Сатисфакция».